Ta có \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương. \(\Rightarrowđpcm\)

Ta có:

\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\) thì:

\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)

\(=t^2-y^4+y^4=t^2\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

Vì \(x,y,z\in Z\) nên:

\(x^2\in Z,5xy\in Z,5y^2\in Z\)

\(\Leftrightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)

Vậy \(A\) là số chính phương (Đpcm)

ồ bài này khá dễ

Ta có

\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\)

\(\)\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4\)

\(=t^2=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

Vì \(x,y,z\in Z\) nên \(\hept{\begin{cases}x^2\in Z\\5xy\in Z\\5y^2\in Z\end{cases}\Rightarrow x^2+5xy+y^2\in Z}\)

Vậy A là số chính phương

\(A=\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]+y^4.\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4.\)

\(=\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)-y^2\right]\left[\left(x^2+5xy+5y^2\right)+y^2\right]+y^4.\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2-y^4+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

Đến đây ta có điều phải chứng minh rồi :>

Ta có \(A=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4=\left(x^2+5yx+4y^2\right)\left(x^2+5yx+6y^2\right)+y^4\)

              \(=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4=t^2-y^4+y^4=t^2\) là số chính phương. Ở đây \(t=x^2+5yx+5y^2.\)

à em hiểu rồi lây\(\left[\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\right]\left[\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\right]\)  vì y+4y=2y+3ysau đó dùng đặt với \(t=x^2-5xy+\frac{4y^2+6y^2}{2}\)
 

Câu 8 :

\(N=\left(\frac{x-1}{\left(x-1\right)^2+x}-\frac{2}{x-2}\right):\left(\frac{\left(x-1\right)^4+2}{\left(x-1\right)^3-1}-x+1\right)\)

Đặt \(x-1=a\)

\(N=\left(\frac{a}{a^2+x}-\frac{2}{a-1}\right):\left(\frac{a^4+2}{a^3-1}-a\right)\)

\(N=\frac{a\left(a-1\right)-2\left(a^2+x\right)}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a\left(a^3-1\right)}{a^3-1}\)

\(N=\frac{a^2-a-2a^2-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}:\frac{a^4+2-a^4+a}{a^3-1}\)

\(N=\frac{-a^2-a-2x}{\left(a^2+x\right)\left(a-1\right)}\cdot\frac{\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)}{2+a}\)

\(N=\frac{-\left(a^2+a+2x\right)\left(a^2+a+1\right)}{\left(a^2+x\right)\left(2+a\right)}\)

\(N=\frac{-\left[\left(x-1\right)^2+x-1+2x\right]\left[\left(x-1\right)^2+x-1+1\right]}{\left[\left(x-1\right)^2+x\right]\left(2+x-1\right)}\)

\(N=\frac{-\left(x^2+x\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(N=\frac{-x\left(x+1\right)}{x+1}\)

\(N=-x\)( đpcm )

Câu 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\left(\frac{x^2+16}{x}+8\right)+9\)

Bài làm :

\(P=\frac{x^2}{x+4}\cdot\frac{x^2+8x+16}{x}+9\)

\(P=\frac{x^2\left(x+4\right)^2}{x\left(x+4\right)}+9\)

\(P=x\left(x+4\right)+9\)

\(P=x^2+4x+9\)

\(P=\left(x+2\right)^2+5\ge5\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-2\)

Bài 10 : Tìm GTLN

\(Q=\left(\frac{x^3+8}{x^3-8}\cdot\frac{4x^2+8x+16}{x^2-4}-\frac{4x}{x-2}\right):\frac{-16}{x^4-6x^3+12x^2-8x}\)

\(Q=\left[\frac{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\cdot\frac{4\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{4x}{x-2}\right]:\frac{-16}{x\left(x^3-6x^2+12x-8\right)}\)

\(Q=\left(\frac{4\left(x^2-2x+4\right)}{\left(x-2\right)^2}-\frac{4x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)^2}\right):\frac{-16}{x\left[x^2\left(x-2\right)-4x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)\right]}\)

\(Q=\frac{4x^2-8x+16-4x^2+8x}{\left(x-2\right)^2}:\frac{-16}{x\left(x-2\right)\left(x^2-4x+4\right)}\)

\(Q=\frac{16}{\left(x-2\right)^2}\cdot\frac{-x\left(x-2\right)\left(x-2\right)^2}{16}\)

\(Q=-x\left(x-2\right)\)

\(Q=-x^2+2x\)

\(Q=-x^2+2x-1+1\)

\(Q=1-\left(x-1\right)^2\le1\forall x\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy....

2. Ta có: P = 2x² + y² - 4x - 4y + 10

P = 2(x² - 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + 4

P = 2(x - 1)² + (y - 2)² + 4 \(\ge\)4 \(\forall\)x;y

=> P luôn dương với mọi biến x;y

3 Ta có:

(2n + 1)(n² - 3n - 1) - 2n³ + 1

= 2n³ - 6n² - 2n + n² - 3n - 1 - 2n³ + 1

= -5n² - 5n = -5n(n + 1) \(⋮\)5 \(\forall\)n \(\in\)Z

1×2=2

Lời giải:

\(A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^4\)

\(A=[(x+y)(x+4y)][(x+2y)(x+3y)]+y^4\)

\(A=(x^2+5xy+4y^2)(x^2+5xy+6y^2)+y^4\)

Đặt \(x^2+5xy+4y^2=a\). Khi đó:

\(A=a(a+2y^2)+y^4=a^2+2ay^2+(y^2)^2\)

hay \(A=(a+y^2)^2\) là một số chính phương.

Ta có đpcm.

\(A=\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)\(A=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)Đặt \(x^2+5xy+5y^2=t\left(t\in Z\right)\)

\(A=\left(t-y^2\right)\left(t+y^2\right)+y^4\)

\(\Rightarrow A=t^2-y^4+y^4\)

\(\Rightarrow A=t^2\)

\(\Rightarrow A=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\)

Vì \(x;y;z\in Z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\in Z\\5xy\in Z\\5y^2\in Z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x^2+5xy+5y^2\in Z\)

\(\Rightarrow\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương

Nên a là số chính phương ( đpcm )

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}P = 5{\rm{x}}\left( {2 - x} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\P = 5{\rm{x}}.2 - 5{\rm{x}}.x - x.x - x.9 - 1.x - 1.9\\P = 10{\rm{x}} - 5{{\rm{x}}^2} - {x^2} - 9{\rm{x}} - x - 9\\P =  - \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right)\end{array}\)

Vì \(6{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(6{{\rm{x}}^2} + 9 \ge 9,\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - \left( {6{{\rm{x}}^2} + 9} \right) \le  - 9 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}Q = 3{{\rm{x}}^2} + x\left( {x - 4y} \right) - 2{\rm{x}}\left( {6 - 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + x.x - x.4y - 2{\rm{x}}.6 - 2{\rm{x}}.\left( { - 2y} \right) + 12{\rm{x}} + 1\\Q = 3{{\rm{x}}^2} + {x^2} - 4{\rm{xy}} - 12{\rm{x}} + 4{\rm{xy + 12x + 1}}\\{\rm{Q = 4}}{{\rm{x}}^2} + 1\end{array}\)

Vì \({\rm{4}}{{\rm{x}}^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({\rm{4}}{{\rm{x}}^2} + 1 \ge 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của x, y.